Question

已知，正方形ABCD的邊長為1，直線l₁∥直線l₂，l₁與l₂之間的距離為1，l₁、l₂與正方形ABCD的邊總有交點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)l₁⊥AC于點(diǎn)A，l₂⊥AC交邊DC、BC分別于E、F時(shí)，求△EFC的周長；
（2）把圖1中的l₁與l₂同時(shí)向右平移x，得到圖2，問△EFC與△AMN的周長的和是否隨x的變化而變化，若不變，求出△EFC與△AMN的周長的和；若變化，請說明理由；
（3）把圖2中的正方形饒點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到圖3，問△EFC與△AMN的周長的和是否隨α的變化而變化？若不變，求出△EFC與△AMN的周長的和；若變化，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AC=．
又∵直線l₁∥直線l₂，l₁與l₂之間的距離為1．
∴CG=-1．
∴EF=2-2，EC=CF=2-．
∴△EFC的周長為EF+EC+CF=2；

（2）△EFC與△AMN的周長的和不隨x的變化而變化．
如圖2，把l₁、l₂向左平移相同的距離，
使得l₁過A點(diǎn)，即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，
過E、F分別做l₃的垂線，垂足為R，G．
可證△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ．
∴AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ．
∴△EFC與△AMN的周長的和為△CPQ的周長，由已知可計(jì)算△CPQ的周長為2，
∴△EFC與△AMN的周長的和為2；

（3）△EFC與△AMN的周長的和不隨α的變化而變化．
如圖3，把l₁、l₂平移相同的距離，使得l₁過A點(diǎn)，即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，
過E、F分別做l₃的垂線，垂足為R，S．過A作l₁的垂線，垂足為H．
可證△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP，
∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．
∴△EFC與△AMN的周長的和為△CPQ的周長．
如圖4，過A作l₃的垂線，垂足為T．連接AP、AQ．
可證△APT≌△APD，△AQT≌△AQB，
∴DP=PT，BQ=TQ．
∴△CPQ的周長為DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．
∴△EFC與△AMN的周長的和為2．

分析：（1）分別計(jì)算EF、EC、CF的長度，計(jì)算△EFC的周長即EF+EC+CF即可；
（2）證明△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ得AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ，可得△EFC與△AMN的周長的和不隨x的變化而變化．
（3）△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP可得AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．可以求得△EFC與△AMN的周長的和為△CPQ的周長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，幾何變換類型題目的解決方法．