Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，點C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，∠AOC=60°，以OA為直徑的⊙P經(jīng)過點C，交BC于點D，DE⊥AB，交AB于E．
（1）直接寫出點A和B的坐標；
（2）求證：DE是⊙P的切線．

Answer 1

解：（1）點A和B的坐標分別為（，1），（，2）．

（2）證明：連接PC、PD，
∴PO=PC=PD（⊙P的半徑），∴∠PCO=∠AOC=60°，
又∵四邊形OABC為平行四邊形，∠AOC=60°，
∴∠DCQ=∠AOC=60°，
∴∠PCD=180°-∠PCO-∠DCY=60°，
∴∠PDC=∠PCD=60°
又∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴∠B=∠AOC=60°，
已知DE⊥AB，∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
∴∠PDE=180°-∠PDC-∠BDE
=180°-60°-30°=90°，
∴PD⊥DE，
∴DE是⊙P的切線．
分析：（1）延長BA與x軸交點F，已知四邊形OABC為平行四邊形，所以BF∥y軸，所以AF垂直于x軸，得直角三角形AOF，由已知OA=2，∠AOC=60°，得∠AOF=30°，所以AF=OA=1，根據(jù)勾股定理得OF=，所以得點A的坐標為（，1），連接AC，由圓周角定理得∠ACO=90°，得四邊形ACOF為矩形，所以OC=AF=1，又已知四邊形OABC為平行四邊形，所以AB=OC=1，所以BF=AB+AF=2，所以點B的坐標為（，2）．
（2）要想證明DE是⊙P的切線．就得證PD⊥DE，連接PC、PD，得到∠PCO=60°，可證∠PCD=60°由已知平行四邊形又得∠B=60°，已知DE⊥AB，所以可證∠BDE=30°，從而證∠PDE=90°，即PD⊥DE．得證．
點評：此題考查的知識點是平行四邊形的性質、圓周角定理及切線的判定．解答此題的關鍵是（1）通過延長BA交x軸于F，得到BF⊥x軸，得，∠AOC=60°到直角三角形AOF，求得OF和AF，再由圓周角定理和已知平行四邊形求得BF，從而確定點A、B的坐標．（2），通過已知，∠AOC=60°，得到，∠PDE=90°．