Question

如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)y=0.5x+2交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a（x-2）²，進(jìn)而求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，以及當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，分別利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可．
解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點(diǎn)A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
與y軸交于點(diǎn)B，
∵x=0，
∴y=2
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2
∴可設(shè)二次函數(shù)y=a（x-2）²，
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函數(shù)的解析式：y=0.5x²-2x+2；

（2）（Ⅰ）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點(diǎn)
由Rt△AOB∽R(shí)t△BOP₁
∴=，
∴=，
得：OP₁=1，
∴P₁（1，0），
（Ⅱ）作P₂D⊥BD，連接BP₂，
將y=0.5x+2與y=0.5x²-2x+2聯(lián)立求出兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)：
D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，4.5），
則AD=，
當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D，
∴=，
=，
解得：AP₂=11.25，
則OP₂=11.25-4=7.25，
故P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（7.25，0）；
（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P₃（a，0）
則由Rt△OBP₃∽R(shí)t△EP₃D
得：，
∴，
∵方程無(wú)解，
∴點(diǎn)P₃不存在，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)和相似三角形的與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論得出所有結(jié)果，注意不要漏解．