Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)， 直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)(8,8)，直線與軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），過(guò)作軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)E．設(shè)線段PD的長(zhǎng)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

                                           

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，因?yàn)锳（8，8）在拋物線上，所以，。

從而拋物線的解析式為.由于直線與y軸交于點(diǎn)B，所以B（0，4）.

(2) 由于點(diǎn)P在直線上,所以P(t,.因?yàn)镻D⊥x軸,點(diǎn)D在拋物線上,

所以D(t,),所以.若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則t=8，若P與B重合，則t=0.所以0＜t＜8。

（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D₁，過(guò)D₁作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)P_1，則

△P₁D₁B∽△BOC，此時(shí)D₁的坐標(biāo)為（，P₁（）。若過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交

拋物線于點(diǎn)D₂，作D₂P₂∥y軸，則△P₂D₂B∽△BCO，此時(shí)B（0，4），D₂（t，），P₂（）。BP₂=，P₂D₂=，由于，即，解得：t₁=，t₂=，∵t＞0，∴t=，此時(shí)P₂（，2）。綜上所述，滿足條件的P的坐標(biāo)是P（）或P（，2）。

【解析】（1）根據(jù)拋物線的圖象特征設(shè)出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，由(8,8)利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的解析式，在中當(dāng)x=0時(shí)就得到y(tǒng)軸的交點(diǎn)為B的坐標(biāo)；

（2）PD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，即得到與t之間的函數(shù)關(guān)系式，且點(diǎn)P在線段AB上就可得到自變量t的取值范圍；

（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及勾股定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)。