Question

關(guān)于x的二次函數(shù)+，其中a為銳角，則：
①當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)有最小值-；
②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，并且當(dāng)a為45°時(shí)，連接這三個(gè)交點(diǎn)所圍成的三角形面積小于1；
③當(dāng)a＜60°時(shí)，函數(shù)在x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；
④無(wú)論銳角a怎么變化，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：①由于2sina＞0，所以函數(shù)一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最小值．
②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可能有三個(gè)：
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)．
首先將a的值代入解析式，先設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁、x₂，那么這兩點(diǎn)間的距離可表示為|x₁-x₂|=，以這條線段為底，拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可得到三交點(diǎn)圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．
③由①知，拋物線的開(kāi)口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對(duì)稱軸方程，若x=1在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，那么隨x的增大，y值先減小后增大．
④圖象若過(guò)定點(diǎn)，那么函數(shù)值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項(xiàng)拿出來(lái)，然后令sina的系數(shù)為0，可據(jù)此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：①當(dāng)a=30°時(shí)，sina=，二次函數(shù)解析式可寫作：y=x²-x=（x-）²-；
所以當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)的最小值為-；故①正確．
②令y=0，則有：2sinax²-（4sina+）x-sina+=0，
△=（4sina+）²-4×2sina×（-sina+）=24sin²a+＞0，
所以拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，再加上拋物線與y軸的交點(diǎn)，即與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)（當(dāng)圖象過(guò)原點(diǎn)時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn)）；
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（x₁，0）、（x₂，0）；
當(dāng)a=45°時(shí)，sina=，得：y=x²-（2+）x-，則：
三角形的面積 S=|x₁-x₂|×=×=×≈0.3＜1
故②正確．
③∵2sina＞0，且對(duì)稱軸x=-=1+＞1，
∴x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，因此 x＞1時(shí)，y隨x的增大先減小后增大；
故③錯(cuò)誤．
④y=2sinax²-（4sina+）x-sina+=sina（2x²-4x-1）-x+；
當(dāng)2x²-4x-1=0，即 x=1±時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（1+，-）、（1-，）；
故④正確．
綜上，正確的選項(xiàng)是①②④，故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題雖然是選擇題，但難度和計(jì)算量都比較大，將三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合在一起的形式也加大了題目的難度．主要涉及到：二次函數(shù)最值的求法、三角形面積的求法、二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式的聯(lián)系等幾方面的知識(shí)，這就要求同學(xué)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握并進(jìn)一步做到靈活運(yùn)用．