Question

如圖，點O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）若OA=3，OC=4，OB=5，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．
（3）若∠AOB=110°，∠BOC=α，請?zhí)骄浚寒敠翞槎嗌俣葧r，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出結論；
（2）由勾股定理的逆定理判斷△AOD為直角三角形；
（3）因為△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

解答：解：（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，
∴CO=CD．
∴△COD是等邊三角形．

（2）△AOD為直角三角形，
∵△ADC≌△BOC，
∴DA=OB=5，
∵△COD是等邊三角形，
∴OD=OC=4，又OA=3，
∴DA²=OA²+OD²，
∴△AOD為直角三角形．

（3）因為△AOD是等腰三角形，
所以分三種情況：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO
∵∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠BOC=190°-∠AOD，
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO
由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，
求得α=125°；
由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°-

1

2

∠AOD
求得α=110°；
由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°-2∠AOD，
求得α=140°；
綜上可知α=125°、α=110°或α=140°．

點評：此題主要運用旋轉的性質、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理等知識，滲透分類討論思想．