Question

（2012•錦州二模）為迎接錦州市2013世界園林博覽會(huì)，我市準(zhǔn)備將某路段路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈單價(jià)為5500元/個(gè)，現(xiàn)有兩個(gè)商家經(jīng)銷此產(chǎn)品．甲商家一律按原價(jià)的80%銷售；乙商家用如下方法促銷：若購(gòu)買路燈不超過150個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購(gòu)買150個(gè)以上，且購(gòu)買的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其單價(jià)減少10元，但太陽能路燈的售價(jià)不得低于4000元/個(gè)．現(xiàn)設(shè)購(gòu)買太陽能路燈x個(gè)，如果全部在甲商家購(gòu)買，則所需金額為y₁元；如果全部在乙商家購(gòu)買，則所需金額為y₂元．
（1）分別求出y₁、y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）若市政府投資154萬元，應(yīng)選擇哪個(gè)商家購(gòu)買，最多能購(gòu)買多少個(gè)太陽能路燈？

Answer 1

分析：（1）甲商家，按等量關(guān)系“所需金額=售價(jià)×購(gòu)買個(gè)數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式，
乙商家，由于購(gòu)買個(gè)數(shù)不同，售價(jià)也不同，因此需按購(gòu)買個(gè)數(shù)分成三段由等量關(guān)系“所需金額=售價(jià)×購(gòu)買個(gè)數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別計(jì)算投資額在甲乙商家各能購(gòu)買的太陽能路燈的數(shù)量，比較得出最大值．

解答：解：（1）由題意可知，從甲商家購(gòu)買路燈所需金額：
y₁=5500×80%x，即y₁=4400x．              
從乙商家購(gòu)買路燈所需金額：
當(dāng)x≤150時(shí)，購(gòu)買一個(gè)需5500元，故y₂=5500x；   
當(dāng)x＞150時(shí)，由題意，可得不等式5500-10（x-150）≥4000，
解得x≤300，
即當(dāng)150＜x≤300時(shí)，購(gòu)買一個(gè)路燈需[5500-10（x-150）]元，
故y₂=x[5500-10（x-150）]，即y₂=7000x-10x²；      
當(dāng)x＞300時(shí)，購(gòu)買一個(gè)需4000元，故y₂=4000x；     
所以y₂=

5500x  (0≤x≤150) 7000x-10x2(150＜x≤300) 4000x (x＞300)

；

（2）到甲商家購(gòu)買：當(dāng)y₁=1540000，即4400x=1540000，
解得x=350．                                          
乙商家：當(dāng)0＜x≤150時(shí)，y₂=5500x≤825000＜1540000；
當(dāng)150＜x≤300時(shí)，y₂=7000x-10x²=-10（x-350）²+1225000
因?yàn)楫?dāng)150＜x≤300，拋物線y₂隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x=300時(shí)，y₂最大值=1200000＜1540000；
故用154萬元到乙商家購(gòu)買路燈的數(shù)量x＞300
當(dāng)x＞300時(shí)，y₂=154000，即4000x=1540000，
解得x=385．
因?yàn)?85＞350，故選擇乙商家購(gòu)買．
答：選擇乙商家購(gòu)買，最多能購(gòu)買385個(gè)路燈．        
注：如果直接代入y₂=4000x，即4000x=1540000．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)關(guān)系式的列法，應(yīng)從自變量的變化范圍入手，同時(shí)考查了最值的求法，分段函數(shù)是中考中熱點(diǎn)問題應(yīng)重點(diǎn)掌握．