Question

已知：如圖①，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，正方形AEFG的邊長(zhǎng)是b，且點(diǎn)F在AD上，連接DB，BF，（以下問(wèn)題的結(jié)果可用a，b表示）．
（1）觀察計(jì)算：△DBF的面積S=

 

（2）圖形變式：
將圖①中的正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°得到圖②，其他條件不變，請(qǐng)你求出圖②中△DBF的面積S；
（3）探究發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)a＞2b時(shí)，若把圖①中的正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△DBF的面積S是否能達(dá)到最大值、最小值？如果能達(dá)到，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并求出最大值、最小值；如果達(dá)不到，請(qǐng)說(shuō)明理由．（圖③可用來(lái)畫(huà)圖）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DF=AD-AF，求三角形的底邊DF，高為AB，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；
（2）由正方形的性質(zhì)可知AF∥BD，則△BDF與△BDA同底等高，根據(jù)S_△DBF=S_△DBA求面積；
（3）如圖，在正方形ABCD外作正方形AEFG，此時(shí)，OF值最大，在正方形ABCD內(nèi)作正方形AEFG，此時(shí)，OF最小，而B(niǎo)D=

2

a，分別計(jì)算OF的最大、最小值，求△DBF的面積的最大值、最小值．

解答：解：（1）∵AEFG是正方形，且邊長(zhǎng)是b，
∴Rt△AEF中，由勾股定理可求AF=

2

b，
∴DF=a-

2

b，
∴S_△DBF=

1

2

DF•AB=

1

2

（a-

2

b）a=

1

2

a²-

2

2

ab；

（2）∵BD和AF分別是正方形ABCD與AEFG的對(duì)角線，
∴∠DBA=∠FAG=45°．
∴BD∥AF
∴S_△DBF=S_△DBA
又∵S_△DBA=

1

2

BA•AD=

1

2

a²，
∴S_△DBF=

1

2

a²；

（3）當(dāng)a＞2b時(shí)，存在最大值和最小值．
∵△BDF的底邊BD=

2

a
∴當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，S_△DBF取得最大值、最小值．
當(dāng)點(diǎn)C、A、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，如圖③，
連接BF、DF，
S_△DBF的最大值=

2

2

a（

2

2

a+

2

b）=

1

2

a²+ab，
S_△DBF的最小值=

2

2

a（

2

2

a-

2

b）=

1

2

a²-ab．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)確定三角形的底和高，發(fā)現(xiàn)三角形底和高的最大值和最小值．