Question

如圖（1）在直角坐標(biāo)系中．一條曲線y=（x＞0）與矩形AOBC的兩邊交于M（4，2）、N兩點(diǎn)．且四邊形MONC的面積是8．
（1）說明：矩形AOBC是正方形．
（2）如圖（2）．若點(diǎn)P（a，b）是這條曲線MN段（含端點(diǎn)）上的一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PE、PD．垂足是E、D，與線段AB分別交于F、G．
①填空：點(diǎn)F的坐標(biāo)______（用b的代數(shù)式表示）；點(diǎn)G的坐標(biāo)______〔用a的代數(shù)式表示）；
②說明：△BOG∽△AFO；
③當(dāng)點(diǎn)P在曲找y=的MN段（含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)．△OFC隨之變動(dòng)．是否存在點(diǎn)P，使△OFG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)M（4，2）在雙曲線y=的圖象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
∴S_△AOM=S_△BON=|k|=4，
∴S_矩形AOBC=S_△AOM+S_△BON+S_{四邊形MONC}=4+4+8=16，
又∵OA=4，OA•OB=16，
∴OB=4，
∴OA=OB，
∴矩形AOBC是正方形；

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
將A（4，0），B（0，4）代入，得，
解得，
則直線AB的解析式為y=-x+4．
∵點(diǎn)P（a，b）是曲線y=的MN段（含端點(diǎn)）上的一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PE、PD．垂足是E、D，與線段AB分別交于F、G，
∴ab=8，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為b，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為a．
當(dāng)y=b時(shí)，x=b-4，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4-b，b）；
當(dāng)x=a時(shí)，y=-a+4，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，4-a）；
②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OBG=∠FAO=45°．
∵AF==b，BG==a，
∴AF•BG=b•a=2ab=2×8=16=OA•OB，
∴OB：AF=BG：OA．
在△BOG與△AFO中，

∴△BOG∽△AFO；
③∵S_△BON=•OB•BN=4，OB=4，
∴BN=2，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．
∵點(diǎn)P（a，b）在曲線y=的MN段（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，M（4，2），
∴2≤a≤4．
若△OFG是等腰三角形，分三種情況：
Ⅰ）如果OF=OG，那么（4-b）²+b²=（4-a）²+a²，
整理，得a²-b²-4a+4b=0，
（a-b）（a+b-4）=0，
∴a-b=0或a+b-4=0，
∵ab=8，∴b=，
∴a+b-4=0時(shí)，a+-4=0，a²-4a+8=0，△＜0，無解；
∴a=b=2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；
Ⅱ）如果FO=FG，那么（4-b）²+b²=2（a+b-4）²，
整理，得a²-8a-4b+24=0，
將b=代入，整理得a³-8a²+24a-32=0，
（a-4）（a²-4a+8）=0，
∵a²-4a+8＞0，
∴a-4=0，a=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）；
Ⅲ）如果GO=GF，那么（4-a）²+a²=2（a+b-4）²，
整理，得b²-8b-4a+24=0，
將a代入，整理得b³-8b²+24b-32=0，
（b-4）（b²-4b+8）=0，
∵b²-4b+8＞0，
∴b-4=0，b=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；
綜上可知，存在點(diǎn)P（2，2）或（4，2）或（2，4），能使△OFG是等腰三角形．
分析：（1）先將M（4，2）代入y=，運(yùn)用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出S_△AOM=S_△BON=|k|=4，則矩形AOBC的面積為16，又OA=4，根據(jù)面積公式得出OB=4，則矩形AOBC是正方形；
（2）①先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再將點(diǎn)F的縱坐標(biāo)b代入，求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；將點(diǎn)G的橫坐標(biāo)a代入，求出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；
②由于∠OBG=∠FAO=45°，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求出AF、BG的長(zhǎng)度，得出OB：AF=BG：OA，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可證明△BOG∽△AFO；
③分三種情況討論：OF=OG；FO=FG；GO=GF，針對(duì)每一種情況，列出方程，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，相似三角形與等腰三角形的判定，有一定難度，其中（2）中第③小問進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．