Question

如圖，一次函數(shù)y=-

3

3

x+2

3

的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點 A和B兩點，將△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD交AB于點D．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）在射線DC上求一點P，使得PC=AC，求出點P的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點Q（除點C外），使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ACD全等？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理．

Answer 1

分析：（1）首先求出圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，進(jìn)而借助勾股定理得出OC的長，即可得出C點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)PC=AC=4，借助勾股定理得出OP的長即可得出答案；
（3）首先得出Q點坐標(biāo)，進(jìn)而利用當(dāng)△ACD≌△DQ′A時，當(dāng)△ACD≌△DQ″A時，當(dāng)△ACD≌△AQD時，分別得出符合條件的點的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖1，連接BC．
∵一次函數(shù)y=-

3

3

x+2

3

的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點 A和B兩點，
當(dāng)y=0，則x=6，當(dāng)x=0，則y=2

3

，
∴A（6，0），B（0，2

3

）．
設(shè)OC=x，則AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
（2

3

）²+x²=（6-x）²，
解得x=2，
∴C點坐標(biāo)為：（2，0）；

（2）如圖1，∵AC=OA-OC=6-2=4，CO=2，
∴當(dāng)PC=AC=4，
∴OP=

42-22

=2

3

，
∴P點坐標(biāo)為：（0，-2

3

）；

（3）如圖2，
∵△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD交AB于點D，
∴D點坐標(biāo)為AB中點，∠CDA=90°，
∵A（6，0），B（0，2

3

），
∴D點坐標(biāo)為：（3，

3

），
∴EC=3-2=1，DE=

3

，CD=2，
∴tan∠DCE=

3

，
∴∠DCE=60°，
∴∠DAC=30°，
當(dāng)△ACD≌△DQ′A時，
∴∠Q′=∠Q′AO=60°，
∴AQ′=2，
∴AF=1，F(xiàn)Q′=

3

，
可得Q′橫坐標(biāo)為：5，縱坐標(biāo)為：-

3

，
∴Q′點坐標(biāo)為；（5，-

3

）；
當(dāng)△ACD≌△AQD時，
則D為QC中點，
∵D點坐標(biāo)為（3，

3

），CE=1，
∴Q點橫坐標(biāo)為：2+1+1=4，
∴Q點坐標(biāo)為：（4，2

3

），
當(dāng)△ACD≌△DQ″A時，
∵∠CAD=∠ADQ″，
∴AC

∥

.

DQ″，
∵AC=4，D點坐標(biāo)為（3，

3

），
∴Q″點橫坐標(biāo)為：3+4=7，
∴Q″點坐標(biāo)為：（7，

3

），
綜上所述：所有符合條件的點Q的坐標(biāo)為：（4，2

3

） （7，

3

）  （5，-

3

）．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．