Question

體驗一下生活中的數(shù)學：如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=20千米，BD=60千米，且CD=60千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元．
①請你在河流CD上找出水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省．
②求出鋪設水管最節(jié)省的總費用是多少？

Answer 1

分析：先作點A的對稱點A′，連接點B和點A′，交l于點M，M即所求作的點，過點A′作AA′的垂線，延長BD
交AA′于點K，根據(jù)軸對稱的性質，知：MA+MB=A′B．根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：①作A關于CD的對稱點A′，連接A′B與CD，交點為M，點M即為所求作的點，過點A′作AA′的垂線，延長BD
交AA′于點K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K=CD=60千米，BK=BD+DK=60+20=80千米，
在Rt△A′BK中，
A′B=

A′K2+BK2

=

602+802

=100（千米）．

②∵鋪設水管的費用為每千米3萬元，
∴所需費用=100×3=300（萬元）．
答：鋪設水管最節(jié)省的總費用是300萬元．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．