Question

如圖，直線AB經(jīng)過第一象限，分別與x軸、y軸交于A、B兩點，P為線段AB上任意一點（不與A、B重合），過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為C、D．設(shè)OC=x，四邊形OCPD的面積為S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若已知A（a，0），B（0，b），且當(dāng)x=時，S有最大值，求直線AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，在直線AB上有一點M，且點M到x軸、y軸的距離相等，點N在過M點的反比例函數(shù)圖象上，且△OAN是直角三角形，求點N的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（4，0），B（0，6），得
解得

∴直線AB的解析式為．
∵OC=x，∴．
∴．
即（0＜x＜4）．
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
∵OC=x，
∴P（x，mx+n）．
∴S=mx²+nx．
∵當(dāng)x=時，S有最大值，
∴解得
∴直線AB的解析式為y=-2x+3．
∴A（，0），B（0，3）．
即，b=3．
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），
由點M在（2）中的直線AB上，
∴y_M=-2x_M+3．
∵點M到x軸、y軸的距離相等，
∴x_M=y_M或x_M=-y_M．
當(dāng)x_M=y_M時，M點的坐標(biāo)為（1，1）．
過M點的反比例函數(shù)的解析式為．
∵點N在的圖象上，OA在x軸上，且△OAN是直角三角形，
∴點N的坐標(biāo)為．
當(dāng)x_M=-y_M時，M點的坐標(biāo)為（3，-3），
過M點的反比例函數(shù)的解析式為．
∵點N在的圖象上，OA在x軸上，且△OAN是直角三角形，
∴點N的坐標(biāo)為．
綜上，點N的坐標(biāo)為或．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，表示出點P的坐標(biāo)，利用舉行的面積公式就可以求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)直線AB的解析式，表示出點P的坐標(biāo)及矩形的面積，將x=時，S有最大值代入解析式就可以求出系數(shù)的值．從而求出直線的解析式．
（3）設(shè)出點M的坐標(biāo)由題意可以代入解析式分類討論求出M的坐標(biāo)，然后由M的坐標(biāo)求出反比例的解析式，最后由△OAN是直角三角形就可以求出點N的坐標(biāo)．
點評：本題試一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求直線函數(shù)的解析式及反比例函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)的運用．解答中注意點M到x軸、y軸的距離相等的點有兩個，不要漏掉．