Question

如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線n從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，運(yùn)動過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，線段CD的中點(diǎn)為P，以P為圓心，以CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當(dāng)直線n與直線l重合時，運(yùn)動結(jié)束．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）直線n在運(yùn)動過程中，
①當(dāng)t為何值時，半圓與直線l相切？
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=

1

2

S_梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線l的解析式y(tǒng)=-x+6，令y=0求得A點(diǎn)坐標(biāo)，x=0求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由面積公式S=

1

2

×π×(

|CD|

2

)2，CD=

2

OD=

2

t列出函數(shù)關(guān)系式，D在線段OA上運(yùn)動，可得出t取值范圍；
（3）①當(dāng)兩直線的距離為

|CD|

2

時，半圓與直線相切，即AD=

2

2

CD；
②由面積公式列出等量關(guān)系“

1

2

×π×(

|CD|

2

)2=

1

2

(AB+CD)×AD×

2

2

”求出t值．

解答：解：（1）∵y=-x+6，令y=0，得0=-x+6，x=6
∴A（6，0）
令x=0，得y=6
∴B=（0，6）

（2）∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD為等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=

OC2+OD2

=

t2+t2

=

2

t
∴PD=

1

2

CD=

2

2

t
S=

1

2

πPD²=

1

2

π•(

2

2

t)2=

1

4

πt2
∴S=

1

4

πt2（0＜t≤6）

（3）
①分別過D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=

DE

AD

DE=

2

2

•(6-t)
∴PF=DE=

2

2

(6-t)
當(dāng)PF=PD時，半圓與l相切
即

2

2

(6-t)=

2

2

t
t=3
當(dāng)t=3時，半圓與直線l相切．
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=

1

2

×6×6-

1

2

×t•t=18-

1

2

t2
S=

1

4

πt2
若S=

1

2

S_梯形ABCD，則

1

4

πt2=

1

2

(18-

1

2

t2)
（π+1）t²=36
t2=

36

π+1

t=

6

π+1

=

6 π+1

π+1

＜6
∴存在t=

6 π+1

π+1

，使得S=

1

2

S_梯形ABCD．

點(diǎn)評：本題為復(fù)雜的一次函數(shù)綜合題，其中有坐標(biāo)的求法，動點(diǎn)運(yùn)動的函數(shù)關(guān)系式以及面積的求法．