Question

某園藝公司計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y₁（萬(wàn)元）與投入資金x（萬(wàn)元）成正比例關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤(rùn)y₂（萬(wàn)元）與投入資金x（萬(wàn)元）成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示．
（1）分別求出利潤(rùn)y₁（萬(wàn)元）與y₂（萬(wàn)元）關(guān)于投入資金x（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果該園藝公司以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式和頂點(diǎn)為原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式，把P，Q分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式可得相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）利用總利潤(rùn)=種植花卉的利潤(rùn)+種植樹(shù)木的利潤(rùn)，用公式法可得二次函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx，由圖①所示，函數(shù)y₁=kx的圖象過(guò)（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤(rùn)y₁關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y₁=2x，
∵該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，
∴設(shè)y₂=ax²，
由圖②所示，函數(shù)y₂=ax²的圖象過(guò)（2，2），
∴2=a•2²，即a=

1

2

，
故利潤(rùn)y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y₂=

1

2

x²；

（2）設(shè)這位專(zhuān)業(yè)戶(hù)投入種植花卉x萬(wàn)元（0≤x≤8），則投入種植樹(shù)木（8-x）萬(wàn)元，他獲得的利潤(rùn)是z萬(wàn)元，
根據(jù)題意，得z=2（8-x）+

1

2

x²=

1

2

x²-2x+16=

1

2

（x-2）²+14，
當(dāng)x=2時(shí)，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴當(dāng)x=8時(shí)，z的最大值是32．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；求函數(shù)解析式通常用待定系數(shù)法；掌握函數(shù)的圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．