Question

如圖，已知四邊形BCDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，又是⊙H的外切四邊形，P、N、M、G為切點(diǎn)，BE、CD的延長(zhǎng)線交于A點(diǎn)，若AP＞BC，且AP，BC的長(zhǎng)為方程x²-25x+150=0的兩個(gè)根．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：x²-25x+150=0，
解得：x₁=15，x₂=10，
∵AP＞BC，且AP，BC的長(zhǎng)為方程x²-25x+150=0的兩個(gè)根，
∴AP=15，BC=10，
∵⊙H與AB，BC，AC切于P、N、M點(diǎn)，
∴BN=BP，CN=CM，
∴BP+CM+BC=2BC=20，
∴△ABC的周長(zhǎng)為50，
又∵EP，EG，DG，DM為⊙H的切線，
∴EP=EG，DG=DM，
∴AE+EG+GD+AD=2AP，
∴△AED的周長(zhǎng)為30，
∵四邊形BCDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴===，
解得：DE=6．
答：DE的長(zhǎng)為6．
分析：先求出方程的根，得出AP、BC的長(zhǎng)，利用切線的性質(zhì)分別得出△AED及△ABC的周長(zhǎng)，判斷出△ABC∽△ADE，繼而可得=，代入即可得出DE的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于圓的綜合題，涉及了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，注意掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于兩三角形的相似比，難度較大．