Question

【題目】閱讀下面材料：

在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：

尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn).

已知：P為⊙O外一點(diǎn).

求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線(xiàn).

小敏的作法如下：如圖，

(1)連接OP，作線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)MN交OP于點(diǎn)C.

(2)以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點(diǎn).

(3)作直線(xiàn)PA，PB.

所以直線(xiàn)PA，PB就是所求作的切線(xiàn).

老師認(rèn)為小敏的作法正確.

請(qǐng)回答：

(1)連接OA，OB后，可證∠OAP＝∠OBP＝90°，其依據(jù)是_________.

(2)如果⊙O的半徑等于3，點(diǎn)P到切點(diǎn)的距離為4，求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離.

Answer 1

【答案】（1）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（2）

【解析】

（1）直接根據(jù)圓周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）連接OA,AB交OP于點(diǎn)E,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠OAP =90°，AE⊥OP,根據(jù)勾股定理求出OP,再根據(jù)等面積法求出AE,即可求出AB.

（1）解：連接OA，OB后，可證∠OAP=∠OBP=90°，其依據(jù)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角；

由此可證明直線(xiàn)PA，PB都是⊙O的切線(xiàn)，其依據(jù)是：經(jīng)過(guò)半徑外端，且與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．

故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑外端，且與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．

（2）連接OA,AB交OP于點(diǎn)E,

因?yàn)?/span>PA是⊙O的切線(xiàn)，

所以∠OAP =90°，

在直角三角形OAP中，由勾股定理可得:OP=5,

因?yàn)?/span>AE⊥OP,

所以 ,

所以AE=,

所以AB=.