Question

（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；
（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？說(shuō)明理由；
（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因?yàn)锽D=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度；
（2）先設(shè)∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°-2x，又因?yàn)锽D=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45度；
（3）可設(shè)∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，即∠DAE=

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∠BAC．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=

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（180°-∠B）=67.5°，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E=

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∠ACB=22.5°，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度；

（2）不改變．
設(shè)∠CAE=x，
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE=x，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=

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（180°-∠B）=x+45°，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E，
=180°-（90°-2x）-x=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD，
=（90°+x）-（x+45°）=45°；

（3）∠DAE=

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∠BAC．
理由：設(shè)∠CAE=x，∠BAD=y，
則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，
∴∠DAE=

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∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．本題由易到難，由特例到一般，是一道提高學(xué)生能力的訓(xùn)練題．