Question

（1）已知：如圖1，△ABC中，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，F(xiàn)Q⊥AN于Q．判斷線段EP、FQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，線段AD的垂直平分線交線段AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若EP⊥MN于P，F(xiàn)Q⊥MN于Q．（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的邊角關(guān)系可證△FQA≌△ANC，則FQ=AN；同樣可證△EPA≌△ANB，則EP=AN．從而得出EP=FQ；
（2）過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I，由AAS可證△FKD≌△DIC，則QK=DM，F(xiàn)Q=DM+MN，同理可得，EP=AM+MN，再由MN為AD中垂線，得出AM=MD，從而證出EP=FQ．
解答：解：（1）EP、FQ的數(shù)量關(guān)系是相等．
證明：∠QFA=90°-∠FAQ=∠CAN，
在△FQA與△ANC中，
，
∴△FQA≌△ANC（AAS），
∴FQ=AN；
同理△EPA≌△ANB，
∴EP=AN，
∴EP=FQ；

（2）答：（1）中的結(jié)論依然成立．理由如下：
過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I．
∵∠KFD=90°-∠FDK=∠CDI，
在△FKD與△DIC中，

∴△FKD≌△DIC（AAS），
∴FK=DI，
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN；
同理可得，EP=AM+MN，
又∵M(jìn)N為AD中垂線，
∴AM=MD，
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識(shí)，需要學(xué)會(huì)分割線段來證明線段相等．難度較大．