Question

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系,其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值.如圖所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù),樹(shù)主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S₁,第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S₂,…,第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為S_n.設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

(1)S₁=　　　　　　　　　　.

(2)通過(guò)探究,用含n的式子表示S_n,則S_n=　　　　.

Answer 1

【解析】(1)∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,

∴正方形的面積為1,

又∵直角三角形一個(gè)角為30°,

∴三角形的一條直角邊為,另一條直角邊就是=,

∴三角形的面積為×÷2=,∴S₁=1+.

(2)∵第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為,它的面積就是,也就是第一個(gè)正方形面積的,

同理,第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的,

∴S₂=·,依此類(lèi)推,S₃=··,即S₃=·,

所以S_n=·(n為整數(shù)).