Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC和AD的延長線交于P，求AB•S_△PAB的最小值．

Answer 1

解：設(shè)PD=x（x＞1），則由勾股定理得：，
∵∠P=∠P，∠PCD=∠A=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PAB，
∴=，
∴，
設(shè)y=AB•S_△PAB，代入可得，
去分母，得x²+2（1-y）x+1+2y=0，
因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以△=4（1-y）²-4（1+2y）=4y（y-4）≥0，
又因?yàn)閥＞0，所以y≥4．即y的最小值為4，故當(dāng)PD=3時(shí)，AB•S_△PAB的最小值為4．
答：AB•S_△PAB的最小值是4．
分析：設(shè)PD=x（x＞1），根據(jù)勾股定理求出PC，證Rt△PCD∽Rt△PAB，得到=，求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出y=AB•S_△PAB，整理后得到y(tǒng)≥4，即可求出答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，面積和等積變形等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出方程x²+2（1-y）x+1+2y=0中y的最小值是解此題的關(guān)鍵．