Question

【題目】如圖，AB=16，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O，B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧 于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q在AB異側(cè)，連接OP．
（1）求證：AP=BQ；
（2）當(dāng)BQ=4 時(shí)，求 的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90°，

在Rt△APO和Rt△BQO中，

，

∴Rt△APO≌Rt△BQO，

∴AP=BQ

（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三點(diǎn)共線，

∵在Rt△BOQ中，cosB= = = ，

∴∠B=30°，∠BOQ=60°，

∴OQ= OB=4，

∵∠COD=90°，

∴∠QOD=90°+60°=150°，

∴優(yōu)弧 的長(zhǎng)= = π

（3）解：∵△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA=8，

∴△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4＜OC＜8

【解析】（1）連接OQ．只要證明Rt△APO≌Rt△BQO即可解決問(wèn)題；（2）求出優(yōu)弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問(wèn)題；（3）由△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4＜OC＜8；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，以及對(duì)弧長(zhǎng)計(jì)算公式的理解，了解若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．