Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C以2cm/s的速度沿CB、BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P、Q出發(fā)幾秒后，△PCQ的面積為12cm²；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P、Q出發(fā)幾秒后，△PCQ與△ACP相似；
（3）求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒后，△PCQ的面積為12cm²，則AP=t，CQ=2t，再根據(jù)△PCQ的面積為12cm²，列出一元二次方程，求得t的值即可；
（2）根據(jù)△PCQ與△ACB相似，分兩種情況討論：當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$；當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，分別根據(jù)比例式進(jìn)行求解判斷即可；
（3）根據(jù)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)Q的位置需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤3；當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3＜t≤8，BQ+BC=2t．分別根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法，求得△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒后，△PCQ的面積為12cm²，則AP=t，CQ=2t，

∵AC=8，BC=6，
∴PC=8-t，CQ=2t，
∵BQ=6-2t≥0．
∴0≤t≤3，
∵△PCQ的面積為12cm²，
∴${S_{△PCQ}}=\frac{1}{2}×（8-t）×2t=12$，
∴t²-8t+12=0，
∴t=2或6（舍去），
∴點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)2秒后，△PCQ的面積為12cm²．

（2）∵△PCQ與△ACB相似，
∴當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{8-t}{8}=\frac{2t}{6}$，
∴$t=\frac{24}{11}$；
當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{8-t}{6}=\frac{2t}{8}$，
∴$t=\frac{16}{5}$＞3（不合題意），
∴當(dāng)P、Q同時(shí)出發(fā)$\frac{24}{11}$秒后，△PCQ與△ACB相似．

（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤3，AP=t，CQ=2t，

∴$S=\frac{1}{2}t×2t={t^2}$；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3＜t≤8，BQ+BC=2t．

∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB=10，
∴AQ=10+6-2t=16-2t，
∵$sinA=\frac{3}{5}$，
∴△APQ中，AP邊上的高為：$\frac{3}{5}$（16-2t），
∴$S=\frac{1}{2}t（16-2t）×\frac{3}{5}=\frac{3}{5}t（8-t）=-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}t$．
綜上所述，△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{t^2}（0≤t≤3）\\-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}（3＜t≤8）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式的求法和一元二次方程的解的情況的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程再求解．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．