Question

已知拋物線y=x²+（2n-1）x+n²-1（n為常數(shù)）．
（1）當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對(duì)稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當(dāng)BC=1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
②試問(wèn)矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數(shù)解析式；
（2）①先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和矩形的對(duì)稱性可知：OB的長(zhǎng)，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長(zhǎng)，即B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就得出了矩形AB邊的長(zhǎng)．進(jìn)而可求出矩形的周長(zhǎng)；
②思路同①可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示縱坐標(biāo)），也就能表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OB的長(zhǎng)，同①可得出BC的長(zhǎng)，而AB的長(zhǎng)就是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，由此可得出一個(gè)關(guān)于矩形周長(zhǎng)和A點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形周長(zhǎng)的最大值及對(duì)應(yīng)的A的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知條件，得n²-1=0
解這個(gè)方程，得n₁=1，n₂=-1
當(dāng)n=1時(shí)，得y=x²+x，此拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限．
當(dāng)n=-1時(shí)，得y=x²-3x，此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限．
∴所求的函數(shù)關(guān)系為y=x²-3x；

（2）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）
∴它的頂點(diǎn)為（

3

2

，-

9

4

），對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，其大致位置如圖所示，
①∵BC=1，易知OB=

1

2

×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=1，又點(diǎn)A在拋物線y=x²-3x上，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵點(diǎn)A在拋物線y=x²-3x上，故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-3x），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x軸下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

，
∵a=-2＜0，拋物線開口向下，二次函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)C最大值為

13

2

．
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（

1

2

，-

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)的應(yīng)用．