Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O（0，0），A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為正三角形．△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

；
（2）過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是

 

；
（3）若OH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)P在線段OH上．點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，OQ=PH，PQ與OB交于點(diǎn)M．
①當(dāng)△OPM為等腰三角形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由于OA是等邊三角形的邊，又是圓的弦，過B點(diǎn)作OA的垂線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求B點(diǎn)坐標(biāo)，連接AC，則∠OCA=∠OBA=60°，解直角△OCA可求OC．
（2）因?yàn)椤螩OA=90°，所以CA為直徑，CD為圓的切線，∠OCA=60°，所以∠DCO=30°，解直角△OCD可求OD，取AC的中點(diǎn)（圓心）為O'，用陰影部分面積=△OCD面積+△OO'C面積-扇形OO'C面積可求解．
（3）①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，t），計算OH的長，△OPM為等腰三角形，有三種可能：OP=OM，OM=PM，OP=PM，根據(jù)每一種情況下的圖形特征，分別求解．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作OA的垂線，垂足為G，
∵A（2，0），∴OA=2，OG=

1

2

OA=1，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），則

12+t2

=2，
∴t=

3

，∴B（1，

3

）（1分）
連接AC，
則∠OCA=∠OBA=60°，∴

OA

OC

=tan60°，
OC=

OA

tan60°

=

2

3

=

2 3

3

，
∴C（0，

2 3

3

）．

（2）∵∠COA=90°，
∴CA為直徑，
又∵CD為圓的切線，∠OCA=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=tan∠DCO•OC=

3

3

×

2 3

3

=

2

3

，
∵AC是⊙O的直徑，BG為△OAB的邊OA的中線，
∴O′為△ABC外接圓的圓心，
∵∠OCA=60°，∴∠OCA=30°，∠OO′C=60°，
S_陰影=S_△OCD+S_△OO'C-S_扇形OO'C=

1

2

×

2

3

×

2 3

3

+

1

2

×

2 3

3

×1-

60π× 2 3 3

180

=

5 3 -2π

9

．

（3）①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，t），
OH=OA×cos60°=

3

，
（I）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
過點(diǎn)P做PE⊥OA，垂足為E，則有：OE=

3

EP，
即t-

1

2

（

3

-t）=

3

2

（

3

-t），
解得：t=1，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）．
（II）若OM=PM，則∠MOP=∠MPO=30°，
∴PQ∥OA，從而OQ=0.5OP，
即t=

1

2

（

3

-t），
解得t=

3

3

即點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

3

），
（III）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠COB，此時PQ∥OC，不滿足題意．
②線段OM的長的最大值為

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了正三角形與圓，圓的切線性質(zhì)，等腰三角形條件的探求方法，面積求法及分類討論的思想，具有較強(qiáng)的綜合性．