Question

如圖，AD是∠CAB的角平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O．
請問：（1）DO是∠EDF的角平分線嗎？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
（2）若將結(jié)論與AD是∠CAB的角平分線、DE∥AB、DF∥AC中的任一條件交換，所得命題正確嗎？

Answer 1

（1）DO是∠EDF的角平分線，
證明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
∵AD是∠CAB的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=EDA，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分線．

（2）正確．
①如和AD是∠CAB的角平分線交換，正確，理由與（1）證明過程相似；
②如和DE∥AB交換，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA=∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分線，DO是∠EDF的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF=∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠DEF=∠AFE，
∴DE∥AB，正確．
③如和AE∥DF交換，正確理由與②類似．
答：若將結(jié)論與AD是∠CAB的角平分線、DE∥AB、DF∥AC中的任一條件交換，所得命題正確．