Question

如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′．
（1）求點O與O′的距離；
（2）證明：∠AOB=150°；
（3）求四邊形AOBO′的面積．
（4）直接寫出△AOC與△AOB的面積和為______．

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC，
∴AB=CB，∠ABC=60°．
∵線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴BO=BO′，∠O′AO=60°．
∴∠O′BA=60°-∠ABO=∠OBA．
在△BO'A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到．
 連接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=60°，
∴△OBO′是等邊三角形．
∴OO′=OB=4．

（2）∵△AOO′中，
三邊長為O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形．
∴∠AOB=∠AOO′+∠O′OB=90°+60⁰=150°．  

（3）S_{四邊形AOBO}'=S_△AOO'+S_△OBO'=×3×4+×4×2=6+4．

（4）如圖，將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至O″點．△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形．
則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=×3×4+×3×=6+．
分析：（1）證明△BO′A≌△BOC，即可證明△OBO′是等邊三角形，從而求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可證得△AOO′是直角三角形，即可求解；
（3）根據(jù)S_{四邊形AOBO}'=S_△AOO'+S_△OBO'即可求解；
（4）將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至O″點，根據(jù)S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″求解．
點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．