Question

7．如圖1，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA•OB=OP²，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如圖2，已知∠MON=90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB=135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如圖3，C是函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)C（a，b），則ab=3，過點(diǎn)C作CH⊥OA于H；分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，BC=2CA不可能；當(dāng)?shù)肁在x軸的正半軸上時(shí)；先求出$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：$\frac{CH}{OB}=\frac{AH}{OA}=\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，得出OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，求出OA•OB=$\frac{27}{2}$，根據(jù)∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)；由題意得出：AB=CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，得出OA•OB=$\frac{3}{2}$，求出OP，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）設(shè)點(diǎn)C（a，b），則ab=3，
過點(diǎn)C作CH⊥OA于H；分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖2：
BC=2CA不可能；
當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上時(shí)，如圖3：
∵BC=2CA，
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}=\frac{AH}{OA}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{3}{2}$a•3b=$\frac{9ab}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}=\sqrt{\frac{27}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴點(diǎn)P到x，y軸的距離相等為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖4，
∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠AOB}\\{∠BAO=∠CAH}\\{CA=AB}\end{array}\right.$
，∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$a•b=$\frac{3}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴點(diǎn)P到x，y軸的距離相等為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、新定義以及運(yùn)用、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過作輔助線進(jìn)行分類討論，證明三角形相似和三角形全等才能得出結(jié)果．