已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根,且拋物線的對稱軸是直線x=-2.
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)連接AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合),過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F,連接CE,設(shè)AE的長為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出S是否存在最大值?若存在,請求出S的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn),拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?如果存在,請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)解一元二次方程求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo),再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可;
(2)先表示出BE的長度并求出△ABC的面積,再判定△BEF和△ABC相似,然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△BEF的面積,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可得到S與m的關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可;
(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),分①AB是對角線時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,點(diǎn)Q是拋物線的頂點(diǎn)時(shí),以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形;②AB是邊時(shí),根據(jù)平行四邊形的對邊相等先求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解.
解答:解:(1)由方程x2-10x+16=0得,x1=2,x2=8,
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OB<OC,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-6,0),
∵點(diǎn)A、B、C都在拋物線y=ax2+bx+c上,
,
解得,
∴此拋物線的表達(dá)式為y=-x2-x+8;

(2)∵A(-6,0),B(2,0),AE的長為m,
∴AB=2-(-6)=2+6=8,BE=8-m,
S△ABC=×8×8=32,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△ABC,
=(2,
∴△BEF的面積=32×(8-m)2=(8-m)2,
由EF∥AC可得==,
等高的三角形的面積的比等于底邊的比可得:==,
∴S=×(8-m)2=m(8-m)=-m2+4m(0<m<8),
又∵S=-m2+4m=-(m2-8m+16)+8=-(m-4)2+8,
∴當(dāng)m=4時(shí),S有最大值,最大值是8,
此時(shí),OE=6-4=2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,0);

(3)存在點(diǎn)Q(-2,)或(6,-32)或(-10,-32),使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.
理由如下:①很明顯,當(dāng)AB是對角線時(shí),點(diǎn)Q在頂點(diǎn)時(shí),以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形可以為平行四邊形,
此時(shí)y=-x2-x+8=-(x+2)2++8=-(x+2)2+,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,),
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,),
②當(dāng)AB為邊時(shí),∵AB=8(已求),
∴PQ=8,
∵點(diǎn)P在對稱軸x=-2上,
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為6或-10,
當(dāng)橫坐標(biāo)為6時(shí),y=-×62-×6+8=-32,
當(dāng)橫坐標(biāo)是-10時(shí),y=-×(-10)2-×(-10)+8=-32,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6,-32)或(-10,-32),
故存在點(diǎn)Q(-2,)或(6,-32)或(-10,-32),使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.
點(diǎn)評:本題綜合考查了二次函數(shù),主要有一元二次方程的解法,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì),等高的三角形的面積的比等于底邊的比,以及平行四邊形的對邊相等的性質(zhì),(3)注意要分AB是對角線與邊兩種情況討論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時(shí)y1的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案