Question

已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE=2．若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)x（x＞0）秒時(shí)，射線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線交于點(diǎn)G，連接GE交AD于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
（1）求△EGA的面積S與點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)時(shí)間x為多少秒時(shí)，GH⊥AB；
（3）證明△GFH的面積為定值．

Answer 1

分析：（1）在三角形EGA中，底邊AG的長(zhǎng)可通過相似三角形ADG和BDF利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出，而AG邊上的高可用AE•sin60°來表示，然后利用三角形的面積公式即可得出S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AB⊥GE時(shí)，連接DE，由已知推出三角形ADE是等邊三角形，可得∠AEG=60°，即∠AEG=∠DEO=30°，然后根據(jù)AG與DE的平行得出內(nèi)錯(cuò)角的相等求出∠AGE=30°，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得出AG=AE=2，在（1）中已經(jīng)求出了AG的表達(dá)式），根據(jù)得出的等量關(guān)系即可求出t的值；
（3）由GA∥BC，DE∥BC，分別得出比例，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可得出FH=BC，又由圖觀察可知△ABC與△GFH的高相等，所以
△ABC與△GFH的面積相等，求出等邊三角形ABC的面積即為三角形GFH的面積，所以△GFH的面積為定值．

解答：解：（1）如圖，∵GA∥BC
∴

AG

BF

=

AD

DB

又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴

AG

t

=

2

4

∴AG=

1

2

t
過點(diǎn)E作EK⊥AG，垂足為K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，根據(jù)勾股定理得：EK=

3

，
∴S=

1

2

AG•EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）如圖，連接DE，由AD=AE可知，△ADE為等邊三角形．
∵AB⊥HG，
根據(jù)等腰三角形的三線合一可知：AO=OD，∠AEO=∠DEO，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠OED，
∴∠AGE=∠AEO，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
∴t=4，
即當(dāng)t=4時(shí)，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC，
∴

GE

EH

=

AE

EC

，
∴

GE

GH

=

AE

AC

，
∵DE∥BC，
∴

DE

FH

=

GE

GH

，

DE

BC

=

AE

AC

，
∴FH=BC，
∵△ABC與△GFH的高相等，
∴S_△GFH=S_△ABC=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
∴不論t為何值，△GFH的面積均為9

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生掌握相似三角形的性質(zhì)與判斷，同時(shí)要求學(xué)生掌握等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，會(huì)利用等邊三角形中特殊角來求值，本題要求學(xué)生必須掌握求定值的方法，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，提高了學(xué)生結(jié)合條件尋求結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題的能力．