Question

如圖，已知直線過(guò)點(diǎn)和，是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出直線的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，的面積為，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出S的最大值；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上（Q與A、B不重合）時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行，問(wèn)在上是否存在點(diǎn)C，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1） ；

（2），當(dāng)時(shí)，S有最大值；

（3）在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）已知直線L過(guò)A，B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式中，用待定系數(shù)法求出直線L的解析式；

（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長(zhǎng)，已知了OP為t，關(guān)鍵是求出QM的長(zhǎng)．已知了QM垂直平分OP，那么OM=，，再求即可；

（3）如果存在這樣的點(diǎn)C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就關(guān)于直線BL對(duì)稱，因此C的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分情況進(jìn)行討論．

試題解析：（1） ；

（2）∵，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)，即時(shí)，，

∴．

當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值；

（3）∵，∴是等腰直角三角形，

若在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，

∴，∵、軸，∴

O、C關(guān)于直線對(duì)稱∴，得．

連接，則四邊形是正方形．

（i）當(dāng)點(diǎn)在線段上，如圖–1．

由對(duì)稱性，得

，

∴，

∴．

即

（ii）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖–2，

∵∴由對(duì)稱性可知

∴，

∴．

綜合（i）（ii），．

∴在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．