Question

（2012•宜昌）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

3

x+1分別與兩坐標(biāo)軸交于B，A兩點(diǎn)，C為該直線上的一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開(kāi)始沿直線BA向上移動(dòng)，作等邊△CDE，點(diǎn)D和點(diǎn)E都在x軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x-m）²+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．⊙M與x軸、直線AB都相切，其半徑為3（1-

3

）a．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠ABO的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，求a的值；
（3）點(diǎn)C移動(dòng)多少秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切？

Answer 1

分析：（1）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，能得到B點(diǎn)坐標(biāo)；在Rt△OAB中，知道OA、OB的長(zhǎng)，用正切函數(shù)即可得到∠ABO的讀數(shù)．
（2）當(dāng)C、A重合時(shí)，就告訴了點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后結(jié)合OC的長(zhǎng)以及等邊三角形的特性求出OD、OE的長(zhǎng)，即可得到D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可確定a的值．
（3）此題需要結(jié)合圖形來(lái)解，首先畫(huà)出第一次相切時(shí)的示意圖（詳見(jiàn)解答圖）；已知的條件只有圓的半徑，那么先連接圓心與三個(gè)切點(diǎn)以及點(diǎn)E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與⊙M的半徑相等，只要再求出PE就能進(jìn)一步求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么可以從PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得這兩個(gè)角的度數(shù)，通過(guò)解直角三角形不難得到PE的長(zhǎng)，即可求出PE及點(diǎn)C、E的坐標(biāo)．然后利用C、E的坐標(biāo)確定a的值，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，由此得解．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-

3

，
∴OA=1，OB=

3

，
∴

OA

OB

=

3

3

∴A的坐標(biāo)是（0，1）
∠ABO=30°．

（2）∵△CDE為等邊△，點(diǎn)A（0，1），
∴tan30°=

OD

OA

，∴OD=

3

3

，
∴D的坐標(biāo)是（-

3

3

，0），
E的坐標(biāo)是（

3

3

，0），
把點(diǎn)A（0，1），D（-

3

3

，0），E（

3

3

，0）代入 y=a（x-m）²+n，
解得：a=-3．

（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)分別是Q，N，P，連接MQ，MN，MP，ME，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，H為垂足，過(guò)A作AF⊥CH，F(xiàn)為垂足．
∵△CDE是等邊三角形，∠ABO=30°
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°
∵CE，直線AB分別與⊙M相切，
∴∠MPC=∠CNM=90°，
∴四邊形MPCN為矩形，
∵M(jìn)P=MN
∴四邊形MPCN為正方形
∴MP=MN=CP=CN=3（1-

3

）a（a＜0）．
∵EC和x軸都與⊙M相切，
∴EP=EQ．
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，
∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ=30°，
∴在Rt△MEP中，tan30°=

PE

PM

，∴PE=（

3

-3）a
∴CE=CP+PE=3（1-

3

）a+（

3

-3）a=-2

3

a
∴DH=HE=-

3

a，CH=-3a，BH=-3

3

a，
∴OH=-3

3

a-

3

，OE=-4

3

a-

3

∴E（-4

3

a-

3

，0）
∴C（-3

3

a-

3

，-3a）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3

3

a+

3

）²-3a
∵E在該拋物線上
∴a（-4

3

a-

3

+3

3

a+

3

）²-3a=0
得：a²=1，解之得a₁=1，a₂=-1
∵a＜0，∴a=-1
∴AF=2

3

，CF=2，∴AC=4
∴點(diǎn)C移動(dòng)到4秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切．

點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)綜合題目涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等重點(diǎn)知識(shí)．難度在于涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，許多數(shù)值都不是具體值；（3）題中，正確畫(huà)出草圖、貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的解題思想是關(guān)鍵．