Question

如圖，函數(shù)y=-

1

2

x+2的圖象交y軸于M，交x軸于N，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)，PQ⊥x軸，Q是垂足，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，0），△POQ的面積為S（當(dāng)點(diǎn)P與M、N重合時(shí)，其面積記為0）．

（1）試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在如圖所示的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并利用圖象求使得S=a（a＞0）的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：本題要根據(jù)題意把各種情況都討論出來(lái)，同時(shí)把△POQ的面積表示出來(lái)．（2）要根據(jù)題意列式整理分析，在根據(jù)解析式畫(huà)出圖象．

解答：解：
解法1：（1）①當(dāng)t＜0時(shí)，OQ=-t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•(-t)(-

1

2

t+2)=

1

4

t2-t；
②當(dāng)0＜t＜4時(shí)，OQ=t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•t(-

1

2

t+2)=-

1

4

t2+t；
③當(dāng)t＞4時(shí)，OQ=t，PQ=-(-

1

2

t+2)=

1

2

t-2，
∴S=

1

2

•t(

1

2

t-2)=

1

4

t2-t；
④當(dāng)t=0或4時(shí)，S=0；
于是，S=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）；

（2）S=

1 4 t2-t= 1 4 (t-2)2-1(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t=- 1 4 (t-2)2+1(0≤t≤4)

下圖中的實(shí)線部分就是所畫(huà)的函數(shù)圖象．（12分）
觀察圖象可知：
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)；
當(dāng)a=1時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)；
當(dāng)a＞1時(shí)，符合條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)．（15分）
解法2：（1）∵OQ=|t|，PQ=|-

1

2

t+2|=|

1

2

t-2|，
∴S=

1

2

|t|•|

1

2

t-2|=

1

4

|t2-4t|（4分）
（2）S=

1

4

|t2-4t|=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）
以下同解法1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)有關(guān)分情況討論的問(wèn)題，解題中要注意對(duì)各種情況做出準(zhǔn)確分析，尤其是t值做好取值范圍的分段，