Question

在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．
（1）求證：△ABE∽△DCA；
（2）求m與n的函數(shù)關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）在旋轉過程中，試判斷等式BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根據(jù)∠B=∠C=45°，證明兩個三角形相似；
（2）由勾股定理，得CA=BA=

2

，由（1）的相似三角形，利用相似比求m、n的關系式；
（3）成立．利用旋轉法將△ACE旋轉到△ABH的位置，則∠HBD=∠HBA+∠ABD=45°+45°=90°，連接DH，證明△EAD≌△HAD，得DH=DE，在Rt△BDH中，利用勾股定理證明結論．

解答：（1）證明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA（2分），
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA（4分）；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

=

BA

CD

（5分）
由依題意可知CA=BA=

2

，
∴

m

2

=

2

n

，
∴m=

2

n

（7分）
自變量n的取值范圍為1＜n＜2．（8分）

（3）成立（9分）
證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²
即BD²+CE²=DE²．

點評：本題考查了相似三角形、全等三角形的判定與性質．關鍵是通過圖形的旋轉，將條件“相對集中”．