Question

小剛為書房買燈．現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦(即0.009千瓦)的節(jié)能燈，售價49元/盞；另一種是40瓦(即0.04千瓦)的白熾燈，售價18元/盞．假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800小時，并已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元．

(1)設(shè)照明時間是x小時，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用；(注：費用＝燈的售價＋電費)

(2)小剛想在這兩種燈中選購一盞．

①當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？

②試用特殊值判斷：

照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費用低？

照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費用低？

(3)小剛想在這兩種燈中選購兩盞．

假定照明時間3000小時，使用壽命就是2800小時．請你幫他設(shè)計一種費用最低的選燈方案，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)用一盞節(jié)能燈的費用是(49＋0.0045x)元，用一盞白熾燈的費用是(18＋0.02x)元． 　　(2)①由題意，得49＋0.0045x＝18＋0.02x，解得x＝2000，所以當照明時間是2000小時時，兩種燈的費用一樣多． 　�、谌√厥庵祒＝1500小時，則用一盞節(jié)能燈的費用是49＋0.0045×1500＝55.75(元)．用一盞白熾燈的費用是18＋0.03×1500＝48(元)，所以當照明時間小于2000小時時，選用白熾燈費用低；取特殊值x＝2500小時，則用一盞節(jié)能燈的費用是49＋0.0045×2500＝60.25(元)，用一盞白熾燈的費用是18＋0.02×2500＝68(元)，所以當照明時間超過2000小時時，選用節(jié)能燈費用低． 　　(3)分下列三種情況討論： 　�、偃绻�選用兩盞節(jié)能燈，則費用是98＋0.0045×3000＝111.5元；②如果選用兩盞白熾燈，則費用是36＋0.02×300＝96(元)； 　　③如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當照明時間大于2000小時時，用節(jié)能燈比白熾燈費用低，所以節(jié)能燈用足2800小時時，費用最低．費用是67＋0.0045×2800＋0.02×200＝83.6(元)； 　　綜上所述，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時，白熾燈使用200小時時，費用最低． 　　剖析：這是一道決策性的問題，解決這類問題，決不能囿于并不熟悉的實際背景，而應(yīng)撇開現(xiàn)象的東西，把握數(shù)學本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為純數(shù)學問題．因此構(gòu)建函數(shù)模型，是解決此類問題的關(guān)鍵．

提示：

建立函數(shù)模型是解決有關(guān)“決策型”應(yīng)用題的最常用、最重要的數(shù)學思想方法．在建立函數(shù)關(guān)系后，往往要進行分類討論，根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系確定自變量的取值范圍，從而為決策提供依據(jù)．