Question

如圖所示，在平面直角坐標系中．二次函數(shù)y=a（x-2）²-1圖象的頂點為P，與x軸交點為A、B，與y軸交點為C．連接BP并延長交y軸于點D．連接AP，△APB為等腰直角三角形．

（1）求a的值和點P、C、D的坐標；
（2）連接BC、AC、AD．將△BCD繞點線段CD上一點E逆時針方向旋轉90°，得到一個新三角形．設該三角形與△ACD重疊部分的面積為S．
①當點E在（0，1）時，在圖中畫出旋轉后的三角形，并出求S；
②當點E在線段CD（端點C、D除外）上運動時，設E（0，b），用含b的代數(shù)式表示S，并判斷當b為何值時，重疊部分的面積最大，寫出最大值．

Answer 1

分析：（1）易知P點坐標為（2，-1），根據(jù)三角形APB為等腰直角三角形，那么AB=2，由于拋物線的對稱軸為x=2，因此A（1，0），B（3，0），將A或B的坐標代入拋物線中即可求出a的值．進而可求出C點的坐標．由于∠ABP=45°，因此三角形OBD也是等腰直角三角形，那么OB=OD，由此可求出D的坐標．
（2）①當OE=1時，那么C′E=CE=2，根據(jù)EF∥OA可求得EF=

2

3

，因此S=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

；
②思路同①，但要分類討論：
當b≥0，時，那么根據(jù)①的思路，可求得C′E=CE=3-b，EF=

1

3

（3-b），因此S=

1

2

CE•EF=

1

6

（3-b）²．
當旋轉后當B′D′過A時，GE=ED′，GE=1-b，DE=3+b，因此b=-1，那么當b＜0時，要分兩種情況進行討論：
一：當-1＜b≤0時，重合部分是個五邊形，可過F作y軸的垂線，將其分割成一個小直角三角形和兩個直角梯形來計算．
二：當-3＜b＜-1時，重合部分是個不規(guī)則的四邊形，可過F作y軸的垂線，將其分割成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
得出函數(shù)關系式后根據(jù)函數(shù)的性質即可得出S的最大值．

解答：解：（1）a=1，P（2，-1），C（0，3），D（0，-3）；

（2）畫出圖形

易知：△CC′E是等腰直角三角形，
因此C′E=CE=2，
∵EF∥OA，
∴

EF

OA

=

CE

OC

，即EF=

2

3

．
∴S=

1

2

×EF×CE=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

，
∴重合部分的面積為S=

2

3

；

（3）當b≥0如圖，可用相似三角形的面積求s=

1

6

(b-3)2，
∴當b=0時，Smax=

3

2

，
當b＜0時，BD旋轉后經過A時，b=-1，
當-1＜b≤0時，S=-

7

6

b²-b+

3

2

=-

7

6

（b+

3

7

）²+

12

7

，
∴當b=-

3

7

時，Smax=

12

7

．
當-3＜b≤-1時，S=

1

3

（3+b）²，
∴當b=-1時Smax=

4

3

．

點評：本題主要考查了圖形的旋轉變換、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應用等知識點．難度較大．