Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明BC是⊙O的切線(xiàn)，只需證明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠A=30°；
其次，利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數(shù)的定義求得ON==；
最后，由弧長(zhǎng)公式l=計(jì)算的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：如圖，
∵M(jìn)E=1，AM=2，AE=，
∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：如圖，連接ON．
在Rt△AEM中，sinA==，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴=，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=，
∴ON==，
∴的長(zhǎng)度是：•=．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形等．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．