Question

如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個(gè)角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點(diǎn)，在構(gòu)造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個(gè)圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個(gè)圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．
解答：解：如圖，連接OB、OD；
設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點(diǎn)為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BD•tan30°=1×=，OB=2OD=，BG=OB-OG=；
由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，
故PG=BG=；
∴S_⊙O=π×（）²=π，S_⊙P=π×（）²=π；
∴S_陰影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=-π-π=-π．
故答案為-π．
點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計(jì)算方法，難度適中．