Question

【題目】如圖 1，兩個(gè)完全相同的三角形紙片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

⑴ 操作發(fā)現(xiàn)：如圖 2，固定△ABC，使△DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上時(shí)， 填空：

①線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 ；

②設(shè)△BDC 的面積為 S1，△AEC 的面積為 S2，則 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是 ．

⑵ 猜想論證

當(dāng)△DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí)，請(qǐng)猜想（1）中 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是否仍 然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

⑶ 拓展探究

已知∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，BD=CD，BE=6，DE∥AB 交 BC 于點(diǎn) E（如圖 4）．若在射線 BA 上存在點(diǎn) F，使 S△DCF=S△BDE，請(qǐng)求相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC，②S1=S2；（2）S△BDC=S△AEC，理由見詳解；（3）6或12

【解析】

（1）①證明∠EDC=∠DCA=60°即可判斷．
②首先證明AD=BD，推出△ADC與△BDC的面積相等，再證明△ADC與△ACE的面積相等即可．
（2）作AN⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于N，DM⊥BC于M，證明△ACN≌△DCM（AAS）即可解決問題．
（3）過點(diǎn)D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）①如圖2中，

由旋轉(zhuǎn)可知：CA=CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠DCA=60°，
∵∠ECD=90°，∠DEC=30°，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDC=∠DCA，
∴DE∥AC，
②∵AB=2AC，AD=AC，
∴AD=BD，
∴S△BDC=S△ADC，
∵DE∥AC，
∴S△ADC=S△ACE，
∴S1=S2．
故答案為：DE∥AC，S1=S2．

（2）如圖3中，分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高

∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，

∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴S△BDC=S△AEC．

（3）如圖，過點(diǎn)D作DF∥BE，

DE∥AB，DF∥BE

∴四邊形BEDF是平行四邊形

∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，
∴ED=EB

∴平行四邊形BEDF是菱形

所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，
此時(shí)=S△BDE；
過點(diǎn)D作DF′⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F′FD=∠ABC=60°，
∵BF=DF，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F′DB=90°，
∴∠FD F′=60°，
∴△DF F′是等邊三角形，
∴DF=D F′，
∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CD F′=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF∠CD F′，
∵在△CDF和△CD F′中，

∴△CDF≌△CD F′（SAS），
∵S△DCF=S△BDE，
∴點(diǎn)F′也是所求的點(diǎn)，
∵BE=6，
∴BF=BE=DF=F F′=6，
∴B F′=12，
綜上，BF的長(zhǎng)為6或12．