Question

如圖，P是∠ABC的邊BC上一點(diǎn)，sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半徑為5．點(diǎn)O是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心作圓，使⊙O與射線BA相切，同時(shí)又與⊙P相切，則⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓與圓的位置關(guān)系

專題：壓軸題

分析：⊙P同時(shí)與⊙O和射線BA相切應(yīng)分兩種情況分類討論：①當(dāng)⊙P與⊙O外切；②當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切．

解答：解：設(shè)⊙O的半徑為r．設(shè)⊙O與射線BA相切于點(diǎn)D，連接OD，則∠BDO=90°．
①如圖1，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半徑為5，
∴

DO

BO

=

r

9+5+r

=

1

3

，
解得r=7；


②如圖2，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半徑為5，
∴

DO

BO

=

r

9-5-r

=

1

3

，
解得r=1；


③如圖3，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半徑為5，
∴

DO

BO

=

r

9+5-r

=

1

3

，
解得r=

7

2

；


④如圖④，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半徑為5，
∴

DO

BO

=

r

9-5+r

=

1

3

，
解得r=2；

綜合①②③④所述，符合條件的⊙O的半徑是7，1，

7

2

和2．
故答案是：7，1，

7

2

和2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓相切和兩圓相切的知識(shí)，對(duì)學(xué)生建立系統(tǒng)的與圓相切有關(guān)的知識(shí)體系有很好的促進(jìn)作用．