Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，OA=OB=OC=6，點G的線段OB上的一個動點，連接AG并延長BC于點D．
（1）當點G運動到何處時△ABD的面積為△ABC面積的$\frac{1}{3}$；
（2）在（1）的條件下，過點B作BE⊥AD，交AC于F，垂足為E，求點F的坐標；
（3）在（1）和（2）的條件下，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點P，使△BFP為以邊BF為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥AC于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ACB=45°，由三角形的面積公式就可以求出DH的值，就可以求出CH的值，從而求出D的坐標；
（2）根據(jù)OA=OB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AOG≌△BOF，就可以得出OF=OG；由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐標．
（3）根據(jù)條件作出圖形圖1，作PH⊥OB于H，PM⊥OC于M，由△PHB≌△PMF就可以得出結(jié)論，圖2，作PH⊥OC于H，由△BOF≌△PHF就可以得出結(jié)論，圖3，作PH⊥OB于H，由△BOF≌△PHB就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，
作DH⊥AC于H，
∴∠AHD=∠CHD=90°．
∵OA=OB=OC=6，
∴AC=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×12=36，
∵△ABD的面積為△ABC面積的$\frac{1}{3}$．
∴△ACD的面積為△ABC面積的$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$×36=$\frac{1}{2}$×12DH，
∴DH=4．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC．
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠HDC=∠DCH，
∴DH=CH．
∴CH=4．
∴OH=2，
∴D（2，4）；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠BEG=∠AEF=90°，
∵∠AOB=∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠AEF=90°
∴∠AFB+∠FAG=90°，∠AFB+∠OBF=90°，
∴∠FAG=∠OBF．
在△AOG和△BOF中$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠FAG=∠OBF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OF=OG；
∵∠AOG=∠AHD=90°，
∴OG∥DH，
∴△AOG∽△AHD，
∴$\frac{AO}{AH}=\frac{OG}{DH}$，
∴$\frac{6}{8}=\frac{OG}{4}$，
∴OG=3．
∴OF=3．
∴F（3，0）
（3）如圖2，
當∠BPF=90°，PB=PF時，作PH⊥OB于H，PM⊥OC于M
∴∠PHB=∠PHO=∠PMO=∠PMC=90°
∵∠BOC=90°，
∴四邊形OMPH是矩形，
∴∠HPM=90°，
∴∠HPF+∠MPF=90°．
∵∠BPF=90°，
∴∠BPH+∠HPF=90°．
∵∠BPH=∠FPM．
在△PHB和△PMF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠FPM}\\{∠BHP=∠FMP}\\{BP=FP}\end{array}\right.$，
∴△PHB≌△PMF（AAS），
∴BH=FM．HP=PM，
∴矩形HPMO是正方形，
∴HO=MO=HP=PM．
∵CO=OB，
∴BO-OH=OC-OM，
∴BH=MC，
∴FM=MC．
∵OF=3，
∴FB=3，
∴FM=2，
∴OM=2
∴PM=2，
∴P（2，2）；
圖3，當∠BFP=90°，PF=BF時，作PH⊥OC于H，
∴∠OFB+∠PFH=90°，∠PHF=90°，
∴∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠OFB=∠HPF．
∵∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠FHP．
在△BOF和△PHF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠FHP}\\{∠OFB=∠HPF}\\{BF=FP}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△PHF（AAS），
∴OF=HP，BO=FH，
∴HP=3，F(xiàn)H=6，
∴OH=9，
∴P（9，3）；
圖4，當∠FBP=90°，PB=BF時，作PH⊥OB于H，
∴∠BHP=90°，
∴∠HBP+∠HPB=90°．
∵∠FBP=90°，
∴∠HBP+∠OBF=90°，
∴∠OBF=∠HBP．
∵∠FOB=90°，
∴∠FOB=∠BHP．
在△BOF和△PHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠HBP}\\{∠FOB=∠BHP}\\{BF=PB}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△PHB（AAS），
∴OF=HB，OB=HP，
∴HC=3，HP=6，
∴HO=9，
∴P（6，9），
∴P（6，9），（9，3），（2，2）．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了坐標與圖象的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時求三角形全等是關(guān)鍵．