Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

Answer 1

解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB==，
∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=2+5+=7．

（2）①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，
此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，
所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在Rt△PCD中，PD===1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9-3.6=5.4cm，
則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形

（3）如圖6，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t+2t-3=3，
∴t=2；
如圖7，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6，
∴當(dāng)t為2或6秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．
分析：（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長(zhǎng)，然后就知AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求得PB的長(zhǎng)，最后即可求得周長(zhǎng)．
（2）因?yàn)锳B與CB，由勾股定理得AC=4 因?yàn)锳B為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．