Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，

   ∠ACB=90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并

    求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，

    問(wèn)是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請(qǐng)求出的m值；

    如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）B（1，3），           （1分）

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，

在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∵∠BAC=∠DAB，

∴Rt△ABC∽R(shí)t△ADB，

∴D點(diǎn)為所求，

又tan∠ADB=tan∠ABC=，

∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，

∴OD=OC+CD=1+=，

∴D（ ，0）；              （4分）

 

（3）這樣的m存在．           

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，

如圖1，當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABD，

則=，

解得m=，               （6分）

如圖2，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ∽△ADB，

則=，

解得m=．                        (9分)

故存在m的值是或時(shí)，使得△APQ與△ADB相似．（10分）