Question

【題目】已知關(guān)于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求證：無論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1 ， x2 ， 且滿足 ，求實(shí)數(shù)p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵無論p取何值時(shí)，總有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴無論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）

證明：x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵ ，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1．

【解析】（1）化成一般形式，求根的判別式，當(dāng)△＞0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
　　　　（2）根據(jù)根與系的關(guān)系求出兩根和與兩根積，再把 變形，化成和與乘積的形式，代入計(jì)算，得到一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，解方程．
本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意熟記以下知識(shí)點(diǎn)：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根分別為x1 ， x2 ， 則有 ， ．