Question

（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結(jié)論；
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請說明理由．
（2）當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立？不必說明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

Answer 1

（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE，理由見解析（2）乙

解：（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE。
②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在Rt△ABD與Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）�！郆D=CE。
延長BD交AC于F，交CE于H。

在△ABF與△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC，
∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
（2）結(jié)論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。
（1）①BD=CE，BD⊥CE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。
②BD=CE，BD⊥CE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°。

（2）根據(jù)結(jié)論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時，該結(jié)論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適。