如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,點(diǎn)A、B、E在同一條直線上,P是線段DF的中點(diǎn),連接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PG與PC的位置關(guān)系及
PG
PC
的值.
(2)若將圖1中的菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問(wèn)題中的其他條件不變,如圖2.那么你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?若沒(méi)變化,直接寫(xiě)出結(jié)論,若有變化,寫(xiě)出變化的結(jié)果.
(3)在圖1中,若∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),將菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度,原問(wèn)題中的其他條件不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出
PG
PC
的值(用含α的式子表示).
考點(diǎn):四邊形綜合題
專題:壓軸題
分析:(1)延長(zhǎng)GP交CD于H,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠PDH=∠PFG,然后利用“角邊角”證明△PGF和△PHD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=PG,DH=FG,然后求出CH=CG,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可;
(2)延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連接CH,CG,先求出△PGF和△PHD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=HD,PH=PG,再求出∠HDC=∠GBC=60°,然后利用“邊角邊”證明△HDC和△GBC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CH=CG,∠DCH=∠BCG,然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可;
(3)延長(zhǎng)GP至H,使PH=PG,連接CH,DH,CG,同理先利用“邊角邊”證明△PGF和△PHD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=HD,∠PDH=∠PFG,然后求出DH∥GF,再求出DH∥BE,根據(jù)兩邊互相平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)求出∠CDH+∠ABE=180°,再根據(jù)周角等于360°求出∠CBG+∠ABE=180°,然后求出∠CDH=∠CBG,然后利用“邊角邊”證明△HDC和△GBC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CH=CG,∠DCH=∠BCG,然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可.
解答:解:(1)延長(zhǎng)GP交CD于H,
∵CD∥AB∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,
∵P是線段DF的中點(diǎn),
∴PD=PF,
在△PGF和△PHD中,
∠PDH=∠PFG
PD=PF
∠DPH=∠FPG
,
∴△PGF≌△PHD(ASA),
∴PH=PG,DH=FG,
∵CH=CD-DH,CG=BC-BG,
BC-CD,BG=FG,
∴CH=CG,
∴PG⊥PC,∠PCG=∠PCH,
∵∠ABC=∠BEF=60°,
∴∠BCD=180°-60°=120°,
∴∠PCG=
1
2
×120°=60°,
PG
PC
=tan60°=
3
;

(2)猜想:(1)中的結(jié)論沒(méi)有變化.
證明:延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連接CH,CG(如圖所示).
∵P是線段DF的中點(diǎn),
∴FP=DP,
由題意可知AD∥FG,故∠GFP=∠HDP,
在△PGF和△PHD中,
∠GPF=∠DPH
PD=PF
∠GFP=∠HDP
,
∴△PGF≌△PHD(ASA),
∴GF=HD,PH=PG,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,
∵BF、AB在同一條直線上,
∴∠GBC=60°,
∴∠HDC=∠GBC=60°,
∵(菱形)GF=GB,
∴DH=GB,
在△HDC和△GBC中,
BC=CD
∠HDC=∠GBC
DH=GB
,
∴△HDC≌△GBC(SAS),
∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°.
即∠HCG=120°,
∵CH=CG,PH=PG,
∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°,
PG
PC
=tan60°=
3
;

(3)延長(zhǎng)GP至H,使PH=PG,連接CH,DH,CG,
∵P是線段DF的中點(diǎn),
∴FP=DP,
在△PGF和△PHD中,
FP=DP
∠DPH=∠FPG
PH=PG
,
∴△PGF≌△PHD(SAS),
∴GF=HD,∠PDH=∠PFG,
∴DH=BG,DH∥GF,
∵BE∥GF,
∴DH∥BE,
又∵CD∥AB,
∴∠CDH+∠ABE=180°,
∵∠ABC+∠CBG+∠EBG+∠ABE=360°,∠ABC+∠EBG=180°,
∴∠CBG+∠ABE=180°,
∴∠CDH=∠CBG,
在△HDC和△GBC中,
BC=DC
∠CDH=∠CBG
DH=BG

∴△HDC≌△GBC(SAS),
∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,
又∵∠ABC=∠BEF=2α,
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=∠BCD=180°-2α,
∴∠HCG=180°-2α,
∵CH=CG,PH=PG,
∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=
1
2
(180°-2α)=90°-α,
PG
PC
=tan(90°-α).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加輔助線的情況下,圖中全等三角形共有
 
對(duì).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB與⊙O相切于點(diǎn)C,OA=OB,⊙O直徑為2cm,∠AOB=120°,則AB的長(zhǎng)為
 
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),AD=AE,BD=CE.
求證:∠B=∠C.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,⊙O中,弦AB⊥AC,OE⊥AB,垂足為E,OF⊥AC,垂足為 F,若AB+AC=10,則四邊形OEAF的周長(zhǎng)為(  )
A、10.B、9C、8D、7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)計(jì)算:〔-
1
2
-1-
12
+〔1-
2
0+4sin60°;
(2)化簡(jiǎn):
a2-9
a2+6a+9
÷(1-
3
a
).
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于任何實(shí)數(shù),我們規(guī)定符號(hào)
.
a
c
b
d
.
的意義是:
.
a
c
b
d
.
=ad-bc.按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你求x的值:
.
x+1
x-2
2x
x-1
.
=2
的值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直線AB、CD相交于O,且∠AOC=140°,則∠AOD=
 
°.

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計(jì)算:
(1)
5
a
+
10
a

(2)
m2+n2
m-n
-
2mn
m-n

(3)
2a
2a-b
+
b
b-2a

(4)
y
x-y
-
x
x-y
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹