Question

如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點(diǎn)B為圓心，線段BC長為半徑的弧交邊AC于點(diǎn)D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BP，交線段BD的延長線于點(diǎn)Q．設(shè)CP=x，DQ=y．
（1）求CD的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)∠DAQ=2∠BAC時(shí)，求CP的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；

（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，可得DE∥AH．
∴，即．
∴，．
又∵DE∥PQ
∴，即，
整理，得．
定義域?yàn)閤＞0．

（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足為點(diǎn)F，可得，．
∴．
解得，
∴．
解得，
即．
分析：（1）由∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，易得：△BDC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得CD的長；
（2）由BC=BD與∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，可證得：∠ABC=∠ACB，則可求得：AC=AB=4；作輔助線：作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，即可證得：DE∥AH，又由DE∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）首先求得AQ=AB=4，然后作AF⊥BQ，垂足為點(diǎn)F，即可求得QF與DF的值，由勾股定理即可求得CP的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．