如圖,已知A(-4,0),B(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心,相似比為9:4,將OB精英家教網(wǎng)向右側(cè)放大,B點的對應點為C.
(1)求C點坐標及直線BC的解析式;
(2)一拋物線經(jīng)過B、C兩點,且頂點落在x軸正半軸上,求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;
(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點P,請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3
2
的點P.
分析:(1)利用相似及相似比,可得到C的坐標.把A,B代入一次函數(shù)解析式即可求得解析式的坐標.
(2)頂點落在x軸正半軸上說明此函數(shù)解析式與x軸有一個交點,那么△=0,再把B,C兩點即可.
(3)到直線AB的距離為3
2
的直線有兩條,可求出這兩條直線解析式,和二次函數(shù)解析式組成方程組,求得點P坐標.
解答:解:(1)過C點向x軸作垂線,垂足為D,由位似圖形性質(zhì)可知△ABO∽△ACD,
AO
AD
=
BO
CD
=
4
9

由已知A(-4,0),B(0,4)可知精英家教網(wǎng)
AO=4,BO=4.
∴AD=CD=9,
∴C點坐標為(5,9),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵A(-4,0),B(0,4)在一次函數(shù)解析式上,那么
-4k+b=0,b=4,
解得k=1,
化簡得y=x+4;

(2)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a>0),由題意得
4=c
9=25a+5b+c
b2-4ac=0
,
解得
a1=1
b1=-4
c1=4
a2=
1
25
b2=
4
5
c2=4
,
∴解得拋物線解析式為y1=x2-4x+4或y2=
1
25
x2+
4
5
x+4,
又∵y2=
1
25
x2+
4
5
x+4的頂點在x軸負半軸上,不合題意,故舍去.
∴滿足條件的拋物線解析式為y=x2-4x+4,
(準確畫出函數(shù)y=x2-4x+4圖象)

(3)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點P,設(shè)P到直線AB的距離為h,
故P點應在與直線AB平行,且相距3
2
的上下兩條平行直線l1和l2上.
由平行線的性質(zhì)可得
兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3
2

如圖,設(shè)l1與y軸交于E點,過E作EF⊥BC于F點,
在Rt△BEF中EF=h=3
2
,∠EBF=∠ABO=45°,
∴BE=6.
∴可以求得直線l1與y軸交點坐標為(0,10),
同理可求得直線l2與y軸交點坐標為(0,-2),
∴兩直線解析式l1:y=x+10;l2:y=x-2.
根據(jù)題意列出方程組:
(1)
y=x2-4x+4
y=x+10
;(2)
y=x2-4x+4
y=x-2
,
解得
x1=6
y1=16
x2=-1
y2=9
;
x3=2
y3=0
x4=3
y4=1
,
∴滿足條件的點P有四個,
它們分別是P1(6,16),P2(-1,9),P3(2,0),P4(3,1).
點評:本題用到的知識點為:可把位似比轉(zhuǎn)換為相似三角形的相似比;到一條直線的距離為定值的直線是平行于已知直線的兩條直線;平行直線的k的值相等.
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3
+1
,CD精英家教網(wǎng)=2,∠ADC=30°
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(2)求∠ABC的度數(shù);
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A、
9
70
B、
70
9
C、
5
126
D、
126
5

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13、如圖,已知直線AB∥CD,∠1=50°,則∠2=
50
度.

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