Question

（2009•寧波模擬）如圖，E為矩形ABCD的邊CD上的一點（CE＞DE），AE⊥BE．以AE為直徑作⊙O，交AB于F．點G為BE的中點，連接FG．
（1）求證：FG為⊙O的切線；
（2）若CD=25，AD=12，求FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明FG是⊙O的切線只要證明∠OFG=90°即可；
（2）設DE=x，則EC=25-x，由已知可求得△ADE∽△ECB，根據相似三角形的對應邊成比例可求得DE的長，從而可求得CE的長；再根據勾股定理求得EB的長，么FG的長就不難求了．
解答：解：（1）連接OF、EF、OG；
∵AE是⊙O的直徑，AF⊥EF，
∴∠AFE=90°=∠EFB=∠AEB，
又∵G是BE的中點，
∴EG=BE=FG；
∵OE=OF，OG=OG，
∴△OEG≌△OFG（SSS），
∴∠OFG=∠OEG=90°，
∴OF⊥FG，
∴FG為⊙O的切線．

（2）設DE=x，則EC=25-x；
∵四邊形ABCD是矩形，AD=12，
∴∠D=∠C=90°，BC=AD=12，
∴∠CEB+∠CBE=90°；
由（1）知，∠AEB=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEA=∠CBE，
∴△ADE∽△ECB，
∴，
∴，
解得，x₁=9，x₂=16；
當x=9時，25-x=16，即DE=9，EC=16；
當x=16時，25-x=9，即DE=16，EC=9；
∵CE＞DE，
∴不合題意舍去；
在Rt△ECB中，
∵EB²=EC²+BC²，
∴EB=，
由（1）知得，FG=EB=10．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．本題還要會熟練運用三角形的相似比作為相等關系列方程求解．