Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）證明四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線(xiàn)，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD=DC= BC，

∴四邊形ADCF是菱形

（2）解：連接DF，

∵AF∥BC，AF=BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S= ACDF=10

【解析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由E是AD的中點(diǎn)，AF∥BC，易證得△AFE≌△DBE，即可得AF=BD，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)，可得AD=BD=CD=AF，證得四邊形ADCF是平行四邊形，繼而判定四邊形ADCF是菱形；（2）首先連接DF，易得四邊形ABDF是平行四邊形，即可求得DF的長(zhǎng)，然后由菱形的面積等于其對(duì)角線(xiàn)積的一半，求得答案．