Question

如圖，DE分別是△ABC的邊BC和AB上的點，△ABD與△ACD的周長相等，△CAE與△CBE的周長相等．設BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求AE和BD的長；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的面積為S，求證：S=AE•BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，△ABD與△ACD的周長相等，我們可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右邊正好是三角形ABC周長的一半，即，有AB，AC的值，那么就能求出BD的長了，同理可求出AE的長；
（2）根據（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE•BD是多少，在化簡過程中，可以利用一些已知條件比如勾股定理等，來使化簡的結果和三角形ABC的面積得出的結果相同．
解答：（1）解：∵△ABD與△ACD的周長相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD=AC+CD=．
∴BD=-c=，
同理AE=；

（2）證明：∵∠BAC=90°，
∴c²+b²=a²，S=bc，
由（1）知AE•BD=×==（a²-b²-c²+2bc）=，
即S=AE•BD
點評：本題中通過周長相等得出線段的長是解題的關鍵．要注意在（2）中化簡AE•BD的式子的過程中要多使用已知或間接知道的條件．